[奧數(shù)課堂]“數(shù)一數(shù)”的方法和規(guī)律

[奧數(shù)課堂]“數(shù)一數(shù)”的方法和規(guī)律

例1 數(shù)一數(shù)，圖1中有幾條線段？

分析與解 線段AE被B、C、D三點分成四條基本線段。這四條基本線段構(gòu)成的線段有四類：用四條基本線段構(gòu)成的線段只有1條（AE）；用三條基本線段構(gòu)成的線段有2條（AD、BE）；用兩條基本線段構(gòu)成的線段有3條（AC、BD、CE）；用一條基本線段構(gòu)成的線段有4條（AB、BC、CD、DE）。所以，圖1中線段總數(shù)是（1＋2＋3＋4=）10條。

規(guī)律一 一條線段被分成a條基本線段，這些基本線段所構(gòu)成的線段總數(shù)是1＋2＋……＋a條。

例2 數(shù)一數(shù)，圖2中有幾個矩形？　

分析與解 圖2中最大矩形被縱向分為四個基本矩形，與例1類同。由規(guī)律一可知，圖2中矩形總數(shù)是（1＋2＋3＋4＝）10個。

例3 數(shù)一數(shù)，圖3中有幾個三角形？

分析與解 圖3中最大三角形被從同一頂點引出的四條線段縱向分為五個基本三角形，與例1、例2類同。由規(guī)律一可知，這些基本三角形構(gòu)成的三角形有（1＋2＋3＋4＋5＝）15個。

例4 數(shù)一數(shù)，圖中有幾個立方體？　

分析與解 圖4中最大立方體被縱向分為三個基本立方體，與例1、例2類同。由規(guī)律一可知，圖4中立方體總數(shù)是（1＋2＋3＝）6個。

例5 數(shù)一數(shù)，圖5中有幾個矩形（包括長方形和正方形兩種幾何圖形）？

分析與解 圖5中最大矩形被縱向分成五部分，橫向分成4＝）20個基本矩形。由規(guī)律一和例2可知，（1）每一橫列有矩形（1＋2＋3＋4＋5＝）15個；（2）每一縱列有矩形（1＋2＋3＋4=）10個；綜合（1）和（2）可知，圖5中矩形總數(shù)是（10×15＝）150個。

規(guī)律二 一個矩形被縱向分成a部分，橫向分成b部分，一共有（a×b）個基本矩形；這些基本矩形所構(gòu)成的矩形有（1＋2＋…＋a）（1＋2＋…＋b）個。特殊的有，如果矩形被縱向橫向都分成a部分，就有a²個基本矩形，這些基本矩形構(gòu)成的矩形總數(shù)是（1＋2＋…＋a）²個。

例6 數(shù)一數(shù)，圖6中有幾個三角形？

分析與解 圖6中最大三角形ABC被從A點引出的四條線段縱向分成五個基本三角形，又被兩條橫向線段分成三部分。由規(guī)律一和例3可知，以A為頂點，以DE上線段為底邊的三角形有（1＋2＋3＋4＋5=）15個；同理，以A為頂點，分別以FG上線段和BC上線段為底邊的兩類三角形都各有15個。所以，三類三角形的總數(shù)為（15×3=）45個。

　　顯然，此題解答不同于例5。這是因為，圖6中的三角形僅因底邊分屬三條直線而分為三類，且所有三角形都有一個共同的頂點A。

例7 數(shù)一數(shù)，圖7中有幾個正方形　

分析與解 圖7中最大正方形被縱向橫向都分成四等份，得（4²=）16個全等基本正方形。這些基本正方形構(gòu)成的正方形有四類：用4²個基本正方形構(gòu)成的正方形只有1個（＝1²個），用3²個基本正方形構(gòu)成的正方形有4個（＝2²個），用2²個基本正方形構(gòu)成的正方形有9個（＝3²個）；用1²個基本正方形構(gòu)成的正方形有16個（=4²個）。所以，圖7中正方形的總數(shù)是（1²＋2²+3²+4²＝）30個。

　　如果例7中的問題改為，圖7中有矩形（包括正方形和長方形兩種幾何圖形）多少個？那么，由規(guī)律二的特殊情形可知，圖7中的矩形有[（1＋2＋3＋4）²＝10² =]100個。顯然，圖7中的長方形總數(shù)是（100-30=）70個。

例8 數(shù)一數(shù)，圖8中有幾個立方體？

分析與解 圖8中最大立方體被橫向分為兩部分，縱向分為三部分，平向分為四部分，這樣就得（2×3×4＝）24個基本立方體。由規(guī)律一和例4可知，每層每縱列有立方體（1＋2=）3個；每層每橫列有立方體（1＋2＋3=）6個；每豎列有立方體（1＋2＋3＋4=）10個。綜合以上三個數(shù)據(jù)可知，圖8中立方體的總數(shù)有（3×6×10=）180個。

規(guī)律三 一個立方體被縱向分為a部分，橫向分為b部分，平向分為c部分，這樣可得（a×b×c）個基本立方體；這些基本立方體構(gòu)成的立方體總數(shù)為（1＋2＋…＋）（1＋2＋…＋b）（1＋2＋…＋c）個。特殊的有，當(dāng)立方體被縱向、橫向、平向都分為a個部分時就得到a³個基本立方體；這些基本立方體構(gòu)成的立方體總數(shù)為（1＋2＋…＋a）³個。

例9 數(shù)一數(shù)，圖9中有幾個正方體？

分析與解 圖9中最大正方體被縱向、橫向、平向都分成四等份，得到（4³=）64個全等基本正方體。這些基本正方體構(gòu)成的正方體有四類：用4³個基本正方體構(gòu)成的正方體只有1個；用3³個基本正方體構(gòu)成的正方體有（2³=）8個；用2³個基本正方體構(gòu)成的正方體有（3³=）27個；用1³個基本正方體構(gòu)成的正方體有（4³＝）64個。所以圖9中有正方體（1³＋2³＋3³＋4³＝）100個。

　　以上3種類型9道例題的解答過程使我們知道“數(shù)一數(shù)”這類題目的基本思路是，按照一定的順序，有條不紊地思考問題，基本方法是分類統(tǒng)計，逐步地解答問題。根據(jù)這種思路和方法歸納概括了3條規(guī)律。這3條規(guī)律在知識結(jié)構(gòu)上是互相聯(lián)系的，前者是后者的基礎(chǔ)，后者是前者的發(fā)展，呈遞進(jìn)關(guān)系。