[奧數(shù)課堂]“數(shù)一數(shù)”的方法和規(guī)律

[奧數(shù)課堂]“數(shù)一數(shù)”的方法和規(guī)律

本文給出“數(shù)一數(shù)”的方法和規(guī)律，供讀者參考。

一、線的單向分割

例1 數(shù)一數(shù)，圖1中有幾條線段？

分析與解 線段AE被B、C、D三點(diǎn)分成四條基本線段。這四條基本線段構(gòu)成的線段有四類：用四條基本線段構(gòu)成的線段只有1條（AE）；用三條基本線段構(gòu)成的線段有2條（AD、BE）；用兩條基本線段構(gòu)成的線段有3條（AC、BD、CE）；用一條基本線段構(gòu)成的線段有4條（AB、BC、CD、DE）。所以，圖1中線段總數(shù)是（1＋2＋3＋4=）10條。

規(guī)律一 一條線段被分成a條基本線段，這些基本線段所構(gòu)成的線段總數(shù)是1＋2＋……＋a條。

例2 數(shù)一數(shù)，圖2中有幾個矩形？　

分析與解 圖2中最大矩形被縱向分為四個基本矩形，與例1類同。由規(guī)律一可知，圖2中矩形總數(shù)是（1＋2＋3＋4＝）10個。

例3 數(shù)一數(shù)，圖3中有幾個三角形？

分析與解 圖3中最大三角形被從同一頂點(diǎn)引出的四條線段縱向分為五個基本三角形，與例1、例2類同。由規(guī)律一可知，這些基本三角形構(gòu)成的三角形有（1＋2＋3＋4＋5＝）15個。

例4 數(shù)一數(shù)，圖中有幾個立方體？　

分析與解 圖4中最大立方體被縱向分為三個基本立方體，與例1、例2類同。由規(guī)律一可知，圖4中立方體總數(shù)是（1＋2＋3＝）6個。

　　以上四例中的圖示雖然分別表示線、面、體的分割；但都是單向分割，其實(shí)質(zhì)均可視為線段分割，數(shù)學(xué)意義相同。所以具有同一數(shù)學(xué)規(guī)律。

二、面的雙向分割

例5 數(shù)一數(shù)，圖5中有幾個矩形（包括長方形和正方形兩種幾何圖形）？

分析與解 圖5中最大矩形被縱向分成五部分，橫向分成4＝）20個基本矩形。由規(guī)律一和例2可知，（1）每一橫列有矩形（1＋2＋3＋4＋5＝）15個；（2）每一縱列有矩形（1＋2＋3＋4=）10個；綜合（1）和（2）可知，圖5中矩形總數(shù)是（10×15＝）150個。

規(guī)律二 一個矩形被縱向分成a部分，橫向分成b部分，一共有（a×b）個基本矩形；這些基本矩形所構(gòu)成的矩形有（1＋2＋…＋a）（1＋2＋…＋b）個。特殊的有，如果矩形被縱向橫向都分成a部分，就有a²個基本矩形，這些基本矩形構(gòu)成的矩形總數(shù)是（1＋2＋…＋a）²個。

例6 數(shù)一數(shù)，圖6中有幾個三角形？

分析與解 圖6中最大三角形ABC被從A點(diǎn)引出的四條線段縱向分成五個基本三角形，又被兩條橫向線段分成三部分。由規(guī)律一和例3可知，以A為頂點(diǎn)，以DE上線段為底邊的三角形有（1＋2＋3＋4＋5=）15個；同理，以A為頂點(diǎn)，分別以FG上線段和BC上線段為底邊的兩類三角形都各有15個。所以，三類三角形的總數(shù)為（15×3=）45個。

　　顯然，此題解答不同于例5。這是因?yàn)?，圖6中的三角形僅因底邊分屬三條直線而分為三類，且所有三角形都有一個共同的頂點(diǎn)A。

例7 數(shù)一數(shù)，圖7中有幾個正方形　

分析與解 圖7中最大正方形被縱向橫向都分成四等份，得（4²=）16個全等基本正方形。這些基本正方形構(gòu)成的正方形有四類：用4²個基本正方形構(gòu)成的正方形只有1個（＝1²個），用3²個基本正方形構(gòu)成的正方形有4個（＝2²個），用2²個基本正方形構(gòu)成的正方形有9個（＝3²個）；用1²個基本正方形構(gòu)成的正方形有16個（=4²個）。所以，圖7中正方形的總數(shù)是（1²＋2²+3²+4²＝）30個。

　　如果例7中的問題改為，圖7中有矩形（包括正方形和長方形兩種幾何圖形）多少個？那么，由規(guī)律二的特殊情形可知，圖7中的矩形有[（1＋2＋3＋4）²＝10² =]100個。顯然，圖7中的長方形總數(shù)是（100-30=）70個。

三、體的三向分割

例8 數(shù)一數(shù)，圖8中有幾個立方體？

分析與解 圖8中最大立方體被橫向分為兩部分，縱向分為三部分，平向分為四部分，這樣就得（2×3×4＝）24個基本立方體。由規(guī)律一和例4可知，每層每縱列有立方體（1＋2=）3個；每層每橫列有立方體（1＋2＋3=）6個；每豎列有立方體（1＋2＋3＋4=）10個。綜合以上三個數(shù)據(jù)可知，圖8中立方體的總數(shù)有（3×6×10=）180個。

規(guī)律三 一個立方體被縱向分為a部分，橫向分為b部分，平向分為c部分，這樣可得（a×b×c）個基本立方體；這些基本立方體構(gòu)成的立方體總數(shù)為（1＋2＋…＋）（1＋2＋…＋b）（1＋2＋…＋c）個。特殊的有，當(dāng)立方體被縱向、橫向、平向都分為a個部分時就得到a³個基本立方體；這些基本立方體構(gòu)成的立方體總數(shù)為（1＋2＋…＋a）³個。

例9 數(shù)一數(shù)，圖9中有幾個正方體？

分析與解 圖9中最大正方體被縱向、橫向、平向都分成四等份，得到（4³=）64個全等基本正方體。這些基本正方體構(gòu)成的正方體有四類：用4³個基本正方體構(gòu)成的正方體只有1個；用3³個基本正方體構(gòu)成的正方體有（2³=）8個；用2³個基本正方體構(gòu)成的正方體有（3³=）27個；用1³個基本正方體構(gòu)成的正方體有（4³＝）64個。所以圖9中有正方體（1³＋2³＋3³＋4³＝）100個。

　　以上3種類型9道例題的解答過程使我們知道“數(shù)一數(shù)”這類題目的基本思路是，按照一定的順序，有條不紊地思考問題，基本方法是分類統(tǒng)計，逐步地解答問題。根據(jù)這種思路和方法歸納概括了3條規(guī)律。這3條規(guī)律在知識結(jié)構(gòu)上是互相聯(lián)系的，前者是后者的基礎(chǔ)，后者是前者的發(fā)展，呈遞進(jìn)關(guān)系。