方程組的解法
方程組的解法
| 二元及多元(二元以上)一次方程組的求解，主要是通過同解變形進(jìn)行消元，最終轉(zhuǎn)化為一元一次方程來解決．所以，解方程組的基本思想是消元，主要的消元方法有代入消元和加減消元兩種，下面結(jié)合例題予以介紹． 例1 解方程組
解 將原方程組改寫為 由方程②得x=6+4y，代入①化簡得 由③得 ④×3+⑤×4得 所以 y=-1． 將y=-1代入⑤，得z=2．將y=-1代入②，得x=2．所以 為原方程組的解． 說明 本題解法中，由①，②消x時(shí)，采用了代入消元法；解④，⑤組成的方程組時(shí)，若用代入法消元，無論消y，還是消z，都會(huì)出現(xiàn)分?jǐn)?shù)系數(shù)，計(jì)算較繁，而利用兩個(gè)方程中z的系數(shù)是一正一負(fù)，且系數(shù)的絕對(duì)值較小，采用加減消元法較簡單． 解方程組消元時(shí)，是使用代入消元，還是使用加減消元，要根據(jù)方程的具體特點(diǎn)而定，靈活地采用各種方法與技巧，使解法簡捷明快． 例2 解方程組 解法1 由①，④消x得 由⑥，⑦消元，得 解之得 將y=2代入①得x=1．將z=3代入③得u=4．所以 解法2 由原方程組得 所以 即x=-15+16x，解之得x=1．將x=1代入⑧得u=4．將u=4代入⑦得z=3．將z=3代入⑥得y=2．所以 為原方程組的解． 解法3 ①+②+③+④得 由⑤-(①+③)得 由①×2-④得 ?、?/font>+⑦得y=2．以下略． 說明 解法2很好地利用了本題方程組的特點(diǎn)，解法簡捷、流暢． 例3 解方程組 分析與解 注意到各方程中同一未知數(shù)系數(shù)的關(guān)系，可以先得到下面四個(gè)二元方程： ①+②得 ②+③得 ③+④得 ④+⑤得 又①+②+③+④+⑤得 ⑩-⑥-⑦得z=7，把z=7代入⑧得x=0，把x=0代入⑥得u=3，把u=3代入⑨得y=6，把y=6代入⑦得v=-1．所以 為原方程組的解． 例4 解方程組 解法1 ①×2+②得 由③得 代入④得
為原方程組的解．
為原方程組的解． 說明 解法1稱為整體處理法，即從整體上進(jìn)行加減消元或代入消 為換元法，也就是干脆引入一個(gè)新的輔助元來代替原方程組中的“整體元”，從而簡化方程組的求解過程． 例5 已知
分析與解 一般想法是利用方程組求出x，y，z的值之后，代入所求的代數(shù)式計(jì)算．但本題中方程組是由三個(gè)未知數(shù)兩個(gè)方程組成的，因此無法求出x，y，z的確定有限解，但我們可以利用加減消元法將原方程組變形． ①-②消去x得 ①×3+②消去y得 ①×5+②×3消去z得
例6 已知關(guān)于x，y的方程組 分別求出當(dāng)a為何值時(shí)，方程組(1)有唯一一組解；(2)無解；(3)有無窮多組解． 分析 與一元一次方程一樣，含有字母系數(shù)的一次方程組求解時(shí)也要進(jìn)行討論，一般是通過消元，歸結(jié)為一元一次方程ax=b的形式進(jìn)行討論．但必須特別注意，消元時(shí)，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的兩邊時(shí)，這個(gè)式子的值不能等于零． 解 由①得 將③代入②得 (1)當(dāng)(a-2)(a+1)≠0，即a≠2且a≠-1時(shí)，方程④有 因而原方程組有唯一一組解． (2)當(dāng)(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)≠0時(shí)，即a=-1時(shí)，方程④無解，因此原方程組無解． (3)當(dāng)(a-2)(a+1)=0且(a-2)(a+2)=0時(shí)，即a=2時(shí)，方程④有無窮多個(gè)解，因此原方程組有無窮多組解． 例7 已知關(guān)于x，y的二元一次方程 當(dāng)a每取一個(gè)值時(shí)，就有一個(gè)方程，而這些方程有一個(gè)公共解，試求出這個(gè)公共解． 解法1 根據(jù)題意，可分別令a=1，a=-2代入原方程得到一個(gè)方程組 將x=3，y=-1代入原方程得 所以對(duì)任何a值 說明 取a=1為的是使方程中(a-1)x=0，方程無x項(xiàng)，可直接求出y值；取a=-2的道理類似． 解法2 可將原方程變形為 由于公共解與a無關(guān)，故有 例8 甲、乙兩人解方程組
原方程的解． 分析與解 因?yàn)榧字豢村e(cuò)了方程①中的a，所以甲所得到的解 解由③，④聯(lián)立的方程組得 所以原方程組應(yīng)為 1．解方程組
2．若x1，x2，x3，x4，x5滿足方程組
試確定3x4+2x5的值． 3．將式子3x2+2x-5寫成a(x+1)2+b(x+1)+c的形式，試求 4．k為何值時(shí)，方程組 5．若方程組 |